Równania kwadratowe na maturze z chemii

Co to jest równanie kwadratowe?

Równanie kwadratowe to równanie algebraiczne drugiego stopnia, które ma postać:

ax² + bx + c = 0

gdzie:

• a, b i c to liczby rzeczywiste,
• x to zmienna, której wartość chcemy znaleźć,
• a≠0 (jeśli a = 0, równanie przestaje być kwadratowe i przyjmuje postać równania liniowego).

Przykład  równania kwadratowego:

2x² − 3x + 1=0 

Tutaj: a = 2 , b = −3 i c = 1

Jak rozwiązywać równania kwadratowe?

Równania kwadratowe można rozwiązywać na kilka sposobów:

1. Rozkład na czynniki: Jeżeli równanie można przekształcić w postać iloczynową
   (mx + p)(nx + q) = 0, to rozwiązaniami równania są wartości x spełniające równania
   mx + p = 0 oraz nx + q = 0. Następnie należy tak przekształcić te równania, aby wyznaczyć wartości x.
2. Wzory kwadratowe: Standardowym sposobem rozwiązywania równań kwadratowych jest użycie wzoru kwadratowego:

Rozwiązania zależą od wartości wyrażenia pod pierwiastkiem (tzw. delty; Δ) ∆= b²-4ac

• Jeśli Δ > 0, równanie ma dwa różne rozwiązania.
• Jeśli Δ = 0, równanie ma jedno rozwiązanie, pierwiastek z zera = zero.
• Jeśli Δ < 0, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Przykład rozwiązania równania kwadratowego:

Rozważmy równanie: 

x² − 4x + 3 = 0

gdzie: a = 1, b = −4, c = 3

Użycie wzoru kwadratowego:

Obliczamy deltę (Δ):

Δ= (−4)² – 4 ⋅ 1 ⋅ 3 

Δ=16 − 12 

Δ = 4

Podstawiamy Δ do wzoru na pierwiastki (miejsca zerowe/rozwiązania równania) równania kwadratowego:

Otrzymujemy dwa rozwiązania równania kwadratowego:

Zastosowanie równań kwadratowych w chemii

Równania kwadratowe znajdują również zastosowanie w obliczeniach chemicznych. Rozwiązywanie równań tego typu pozwala na analizę wielu procesów chemicznych. 

W jakich chemicznych typach zadań mogą pojawić się równania kwadratowe?

W zadaniach dotyczących równowagi chemicznej:  czyli tam gdzie się pojawia stała równowagi (K), pH, iloczyn rozpuszczalności, czy też szybkość reakcji.

Sens fizyczny/chemiczny rozwiązań równania kwadratowego

W zadaniach maturalnych równań kwadratowych najczęściej będziemy używać do obliczenia stężeń, ciśnień cząstkowych czy liczby moli. Należy pamiętać, że wartości tych wielkości fizycznych nie mogą być ujemne! Dlatego przeprowadzając obliczenia w zadaniu konieczne jest wyznaczenie obu rozwiązań równania kwadratowego, a następnie dokonanie interpretacji otrzymanych wyników – i wybranie tej  wartości, która doprowadzi nas do ostatecznego wyniku zgodnego z sensem fizycznym danego zadania. 

Zadania w stylu maturalnym

Zadanie 1. 

Oblicz pH 0,5 molowego roztworu chlorku amonu w 25^oC.

pH = ……..

Odpowiedź:

pK_b(NH₃) = 4,75 

a ponieważ dla sprzężonej pary kwas-zasada:

pK_a + pK_b = 14

więc pK_a sprzężonego z nią kwasu NH₄⁺ będzie równe: 14 – 4,75 = 9,25 => K_a = 10^-9,25

NH₄⁺ + H₂O ⇆ NH₃ + H₃O⁺

Wyrażenie na stałą równowagi, przyjmując że steżenie wody jest stałe, ma postać: 

K_a = [NH₃][H₃O⁺]/[ NH₄⁺] = [H₃O⁺]² /(c₀ – [ H₃O⁺])

(Ponieważ [NH₃] = [H₃O⁺]  oraz  [ NH₄⁺] = c₀ – [ H₃O⁺])

K_a ∙ c₀ – K_a ∙ [ H₃O⁺] – [H₃O⁺]² = 0

10^-9,25 ∙ 0,5 – 10^-9,25 [ H₃O⁺]– [H₃O⁺]² = 0

A = -1

Δ = b² – 4ac = (-10^-9,25)² – (4∙(-1)∙10^-9,25 ∙0,5) = 3,16∙10^-19 + 1,12∙10^-9 = 1,12∙10^-9

√Δ = 3,35∙10^-5

x₁ = 1,68∙10^-5

x₁ = -1,68∙10^-5 – wartość ujemną odrzucamy, ponieważ w tym przypadku nie ma sensu fizycznego.

Obliczamy pH roztworu:

pH = -log[H₃O⁺] = -log(1,68∙10^-5) = 4,8

Zadanie 2.

Stężeniowa stała równowagi pewnej reakcji zachodzącej zgodnie z równaniem:

A(g) + B(g) ⇄ C(g) + D(g) w temperaturze T wynosi 0,8.

Do zamkniętego reaktora o stałej objętości równej 1 dm³, wprowadzono 2 mole substancji A oraz 4 mole substancji B. Oblicz jaki procent początkowej liczby cząsteczek A i B uległ przekształceniu w produkty tej reakcji w opisanych warunkach.

Odpowiedź:

Dla reakcji opisanej równaniem:

A(g) + B(g) ⇄ C(g) + D(g)

W stanie równowagi:

n_C = n_D = x oraz n_A = 2 –  x i  n_B = 4 –  x

czyli:

[C] = [D] = x/1 oraz [A] = (2 –  x) / 1 i [B] = (4 –  x) / 1

0,8(2 – x)(4– x) = x²

0,8(8 –  2x –  4x + x²) = x²

6,4 – 4,8x + 0,8x² –  x² = 0

6,4 – 4,8x –  0,2x²  = 0

Δ = b² – 4ac = (-4,8)² – 4 ∙ (-0,2) ∙ (6,4) =  23,04 + 5,12 = 28,16 

√Δ = 5,31

x₁ = (-b-√Δ)/2a = -25,28 < 0 więc odrzucamy, ponieważ nie spełnia warunków zadania,

x₂ = (-b+√Δ)/2a = 1,28

n_C = n_D = 1,28 mol = Δn_A = Δn_B

%n_A = (Δn/n₀) ∙ 100% = (1,27/2) ∙100% = 64%

%n_B = (Δn/n₀) ∙ 100% = (1,27/4) ∙100% = 32%

Zadanie 3.

Pewna reakcja chemiczna opisana równaniem: A(g) + B(g) ⇄ C(g)

Przebiega, w temperaturze 298 K, według równania kinetycznego zgodnego ze stechiometrią reakcji. Początkowe stężenie substancji A było trzy razy większe niż początkowe stężenie substancji B i wynosiło 6 mol/dm³. Oblicz stężenie substancji A i B w momencie, gdy szybkość tej reakcji wynosi 5,1∙10² dm³∙mol^-1∙s^-1. Stała szybkości tej reakcji jest równa 1,24∙10³dm³∙mol^-1∙s^-1.

Odpowiedź:

 v = k∙ c_A(koncowe.) ∙ c_B(koncowe.)

c_A(koncowe.) = c_A(pocz) – x = 6 mol∙dm^-3 – x 

c_B(koncowe.) = c_B(pocz) – x = 6/3 mol∙dm^-3 – x = 2 mol∙dm^-3 – x 

 v = k∙ c_A(koncowe.) ∙ c_B(koncowe.) => v/k = (6 – x)( 2 – x) = 12 – 6x – 2x + x² = 12 – 8x + x²

5,1∙10² / 1,24∙10³ = 12 – 8x + x² 

0,41 = 12 – 8x + x²

0 = 11,59 – 8x + x²

x₁ = 6,1  => odrzucamy, ponieważ nie spełnia warunków zadania, a stężenia końcowe obu substancji byłoby ujemne.

x₂ = 1,9

c_A(koncowe.) = c_A(pocz) – x = 6 mol∙dm^-3 – 1,9 mol/dm³= 4,1 mol/dm³ 

c_B(koncowe.) = c_B(pocz) – x = 2 mol∙dm^-3 – 1,9 mol/dm³ = 0,1 mol/dm³